Normální rozdělení

• Normální rozdělení pravděpodobnosti jednorozměrné náhodné veličiny $X$

$X\sim {\cal {{N}(\mu ,\sigma ^{2})}}$, hustota pravděpodobnosti $X\dots f_{X}$

$f_{X}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

• Normální rozdělení pravděpodobnosti dvojrozměrného náhodného vektoru $[X,Y]$

 Pokud jsou náhodné veličiny $X,Y$ vzájemně nezávislé, pak jejich hustota pravděpodobnosti je:  

$f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y)={\frac {1}{{2\pi }\,\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^{2}+\left({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}\right)^{2}\right)}$

 Pokud jsou náhodné veličiny $X,Y$ statisticky závislé, tj. $f_{X,Y}(x,y)\neq f_{X}(x)\,f_{Y}(y)$, pak platí:

$f_{X,Y}(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi {\sqrt {|\mathbf {C} |}}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\mathbf {C} ^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}}$

$\mathbf {C} \dots$ kovarianční matice

$\mathbf {C} :=\left[{\begin{array}{cc}\sigma _{X,X}&\sigma _{X,Y}\\\sigma _{Y,X}&\sigma _{Y,Y}\end{array}}\right]:=\left[{\begin{array}{cc}var(X)&cov(X,Y)\\cov(Y,X)&var(Y)\end{array}}\right]$