152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha3: Porovnání verzí

← Porovnání se starší verzí Porovnání s novější verzí →

Verze z 18. 3. 2013, 13:54

Název úlohy

Gravitační potenciál a jeho derivace

Zadání úlohy

Příklad 3.1

Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče $R$ a střední hustoty $\sigma$ konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace na jejím povrchu a ve vzdálenostech $r_{i}$ od těžiště koule podle numerického zadání. Vypočtené hodnoty využijte k vykreslení průběhu těchto tří funkcí.

Příklad 3.2

Zemské těleso aproximujte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ a hustotách $\sigma _{1}$ a $\sigma _{2}$ . Spočtěte opět hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace tohoto sféricky symetrického tělesa na rozhraních jednotlivých vrstev a ve vzdálenostech $r_{i}$ od těžiště kulové dvojvrstvy; průběhy zkoumaných funkcí přehledně vykreslete a diskutujte. Popište jejich chování na rozhraních vrstev z hlediska spojitosti pomocí řešení limitních případů analytických vyjádření příslušných funkcí; v případě nespojitosti funkcí uveďte velikost skoku na daném rozhraní (analytické vyjádření velikosti skoku ověřte numericky). Porovnejte také případ koule a kulových vrstev.

Doplňkový materiál

O struktuře Země - sestavte si 3D model

Numerické zadání

$G=6,672.10^{-11}~m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$

$R=6371~km$

$\sigma =5520~kg.m^{-3}$

$r_{i}=[0,20000]~km$ , kde v uvedeném rozmezí zvolte dostatečný počet výpočetních bodů s ohledem na hladkost vykreslovaných křivek zkoumaných průběhů funkcí (např. 200 výpočetních bodů)

R₃ =	R
R₂ =	R₃ - 3 . ( 10 + n ) $km$
R₁ =	R₂ - ( 400 + n ) $km$
$\sigma _{2}$ [ $kg.m^{-3}$ ]	$2,75.10^{3}$
$\sigma _{1}$ [ $kg.m^{-3}$ ]	$3,64.10^{3}$

$\sigma _{2}$ je hustota vnější vrstvy, $\sigma _{1}$ je hustota vnitřní vrstvy.

Veličina n se rovná pořadovému číslu zadání studenta uvedenému na stránkách cvičení ZFG.

152ZFG Základy fyzikální geodézie

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
 ==Název úlohy==
-Aplikace Newtonova integrálu - gravitační potenciál a jeho derivace
+Gravitační potenciál a jeho derivace
 ==Zadání úlohy==
@@ Řádek 8: / Řádek 8: @@
 ;Příklad 3.2
 Zemské těleso aproximujte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry '''<math>R_1</math>''', '''<math>R_2</math>''', '''<math>R_3</math>''' a hustotách '''<math>\sigma_1</math>''' a '''<math>\sigma_2</math>'''. Spočtěte opět hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace tohoto sféricky symetrického tělesa na rozhraních jednotlivých vrstev a ve vzdálenostech '''<math>r_i</math>''' od těžiště kulové dvojvrstvy; průběhy zkoumaných funkcí přehledně vykreslete a diskutujte. Popište jejich chování na rozhraních vrstev z hlediska spojitosti pomocí řešení limitních případů analytických vyjádření příslušných funkcí; v případě nespojitosti funkcí uveďte velikost skoku na daném rozhraní (analytické vyjádření velikosti skoku ověřte numericky). Porovnejte také případ koule a kulových vrstev.
+<!--
 ''Pozn.: Analytické řešení limitních případů pro jednotlivá rozhraní kulové dvojvrstvy postačí v TZ uvést pouze pro druhou radiální derivaci gravitačního potenciálu.''
+-->
 ==Doplňkový materiál==
@@ Řádek 24: / Řádek 25: @@
 {|class="border"
-|  || '''kruh 61''' || '''kruh 62'''
 |-
-|  '''R<sub>3</sub>''' || R || R
+|  '''R<sub>3</sub> =''' || R
 |-
-|  '''R<sub>2</sub>''' || R<sub>3</sub> - 2 . ( 10 + ''n'' ) <math>km</math> || R<sub>3</sub> - 3 . ( 10 + ''n'' ) <math>km</math>
+|  '''R<sub>2</sub> =''' || R<sub>3</sub> - 3 . ( 10 + ''n'' ) <math>km</math>
 |-
-|  '''R<sub>1</sub>''' || R<sub>2</sub> - ( 400 + ''n'' ) <math>km</math> || R<sub>2</sub> - ( 400 + ''n'' ) <math>km</math>
+|  '''R<sub>1</sub> =''' || R<sub>2</sub> - ( 400 + ''n'' ) <math>km</math>
 |-
-|  '''<math>\sigma_2</math>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>2,67.10^3</math> || <math>2,80.10^3</math>
+|  '''<math>\sigma_2</math>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>2,75.10^3</math>
 |-
-|  '''<math>\sigma_1</math>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>3,35.10^3</math> || <math>3,71.10^3</math>
+|  '''<math>\sigma_1</math>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>3,64.10^3</math>
 |}