152YFYG Fyzikální geodézie - úloha 2: Porovnání verzí

Aktuální verze z 17. 10. 2013, 20:01

Název úlohy

Přímá gravimetrická úloha

Zadání úlohy

V homogenním prostředí hustoty Σ je v hloubce ζ uloženo homogenní těleso ve tvaru nekonečně dlouhého vodorovného válce o poloměru a a hustotě σ. Vypočtěte a ve vhodném měřítku graficky zobrazte derivace gravitačního potenciálu $V_{z}$ , $V_{zz}$ , $V_{zzz}$ a $V_{xz}$ tohoto rušivého tělesa pro potenciálový bod na profilu x. Pro srovnání vypočtěte a zobrazte průběh uvedených derivací gravitačního potenciálu pro homogenní kouli týchž parametrů. Výrazy pro výpočet těchto derivací si odvoďte z rovnice pro gravitační potenciál. Závěrem uveďte, jak lze dosažených výsledků využít pro úlohu obrácenou, tj. pro vyhledání ložiska anomálního tělesa.

Numerické zadání

hustota prostředí: Σ = 2,75 $g.cm^{-3}$

poloměr tělesa: a = 200 $m$

výpočetní profil: x od -2000 $m$ do 2000 $m$

gravitační konstanta: G = $6,672.10^{-11}m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$

hustota a hloubka uložení tělesa:

číslo zadání	kruh 58		kruh 59
číslo zadání	ζ[m]	σ[ $g.cm^{-3}$ ]	ζ[m]	σ[ $g.cm^{-3}$ ]
1	360	7,86	360	2,09
2	380	7,86	380	2,09
3	400	7,86	400	2,09
4	420	7,86	420	2,09
5	440	7,86	440	2,09
6	460	7,86	460	2,09
7	480	7,86	480	2,09
8	500	7,86	500	2,09
9	520	7,86	520	2,09
10	540	7,86	540	2,09
11	560	7,86	560	2,09
12	580	7,86	580	2,09
13	600	7,86	600	2,09
14	620	7,86	620	2,09
15	640	7,86	640	2,09
16	660	7,86	660	2,09
17	680	7,86	680	2,09
18	700	7,86	700	2,09
19	720	7,86	720	2,09
20	740	7,86	740	2,09
21	760	7,86	760	2,09
22	780	7,86	780	2,09
23	800	7,86	800	2,09
24	820	7,86	820	2,09
25	840	7,86	840	2,09
26	860	7,86	860	2,09
27	880	7,86	880	2,09

Číslo zadání studenta odpovídá číslování uvedenému na stránkách cvičení FYG. Hustotu anomálního tělesa získáte podle příslušnosti do kruhu v rámci cvičení FYG.

Pozn.:

hustota 2,75

g.cm^{-3}

je průměrná hustota zemské kůry ( taktéž hustota většiny minerálů se pohybuje mezi 2,6 - 2,8

g.cm^{-3}

)

hustota 2,09

g.cm^{-3}

je hustota grafitu

hustota 7,86

g.cm^{-3}

je hustota železa

Dokumenty ke stažení

Obrázek se schematickými průběhy vybraných derivací gravitačního potenciálu pro některé tvary anomálního tělesa je k dispozici zde.

Doplňující literatura:

M.Pick, J.Pícha, V.Vyskočil: Úvod ke studiu tíhového pole Země. Academia 1973. Kap.XIV: Matematické základy gravimetrické interpretace, s.357-393.

152FYG Fyzikální geodézie

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
 ==Název úlohy==
-Gravitační potenciál a jeho derivace
+Přímá gravimetrická úloha
 ==Zadání úlohy==
-. Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče '''R''' a střední hustoty '''<math>\sigma</math>''' konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé derivace na jejím povrchu i v daných hloubkách '''h<sub>i</sub>''' a též nad jejím povrchem ve výškách '''H<sub>i</sub>''' volených podle vlastního uvážení.
+V homogenním prostředí hustoty '''Σ''' je v hloubce '''ζ''' uloženo homogenní těleso ve tvaru nekonečně dlouhého vodorovného válce o poloměru '''a''' a hustotě '''σ'''. Vypočtěte a ve vhodném měřítku graficky zobrazte derivace gravitačního potenciálu <math>V_z</math>, <math>V_{zz}</math>, <math>V_{zzz}</math> a <math>V_{xz}</math> tohoto rušivého tělesa pro potenciálový bod na profilu '''x'''. Pro srovnání vypočtěte a zobrazte průběh uvedených derivací gravitačního potenciálu pro homogenní kouli týchž parametrů. Výrazy pro výpočet těchto derivací si odvoďte z rovnice pro gravitační potenciál. Závěrem uveďte, jak lze dosažených výsledků využít pro úlohu obrácenou, tj. pro vyhledání ložiska anomálního tělesa.
-Vypočtené hodnoty využijte k zakreslení průběhu těchto tří funkcí.
-. Obdobně postupujte v případě, že Zemi nahradíte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťce dané poloměry '''R<sub>1</sub>''','''R<sub>2</sub>''', '''R<sub>3</sub>
-<!--
-'''Přímá gravimetrická úloha'''
-==Zadání úlohy==
-V homogenním prostředí hustoty '''Σ''' je v hloubce '''ζ''' uloženo homogenní těleso ve tvaru nekonečně dlouhého vodorovného válce o poloměru '''a''' a hustotě '''σ'''. Vypočtěte a ve vhodném měřítku graficky zobrazte derivace gravitačního potenciálu Vz, Vzz, Vzzz a Vxz tohoto rušivého tělesa pro potenciálový bod na profilu '''x'''.
-Pro srovnání vypočtěte a zobrazte průběh Vz a Vxz pro homogenní kouli týchž parametrů.
-Výrazy pro výpočet těchto derivací si odvoďte z rovnice pro gravitační potenciál.
 ==Numerické zadání==
-''hustota prostředí:'' '''Σ''' = 2670 <math>kg.m^{-3}</math>
+''hustota prostředí:'' '''Σ''' = 2,75 <math>g.cm^{-3}</math>
-''poloměr tělesa:'' '''a''' = 300 <math>m</math>
+''poloměr tělesa:'' '''a''' = 200 <math>m</math>
 ''výpočetní profil:'' '''x'''  od -2000 <math>m</math> do 2000 <math>m</math>
-''geocentrická gravitační konstanta:'' '''G''' = <math>6,672.10^{-11} m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}</math>
+''gravitační konstanta:'' '''G''' = <math>6,672.10^{-11} m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}</math>
 ''hustota a hloubka uložení tělesa:''
@@ Řádek 30: / Řádek 18: @@
 {|class="border"
 !rowspan="2" | číslo zadání
-!colspan="2" | kruh 61
+!colspan="2" | kruh 58
-!colspan="2" | kruh 62
+!colspan="2" | kruh 59
-!colspan="2" | kruh 63
-!colspan="2" | kruh 64
-!colspan="2" | kruh 65
 |-
-!'''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>]
+!'''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>g.cm^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>g.cm^{-3}</math>]
 |-
-|   1|| 350|| 5400||  350|| 4100||  350||  1300||  350|| 4600||  350|| 1000
+|   1|| 360|| 7,86||  360|| 2,09
+|-
+|   2|| 380|| 7,86||  380|| 2,09
+|-
+|   3|| 400|| 7,86||  400|| 2,09
+|-
+|   4|| 420|| 7,86||  420|| 2,09
+|-
+|   5|| 440|| 7,86||  440|| 2,09
+|-
+|   6|| 460|| 7,86||  460|| 2,09
+|-
+|   7|| 480|| 7,86||  480|| 2,09
+|-
+|   8|| 500|| 7,86||  500|| 2,09
+|-
+|   9|| 520|| 7,86||  520|| 2,09
+|-
+|  10|| 540|| 7,86||  540|| 2,09
 |-
-|   2|| 375|| 5400||  375|| 4100||  375||  1300||  375|| 4600||  375|| 1000
+|  11|| 560|| 7,86||  560|| 2,09
 |-
-|   3|| 400|| 5400||  400|| 4100||  400||  1300||  400|| 4600||  400|| 1000
+|  12|| 580|| 7,86||  580|| 2,09
 |-
-|   4|| 425|| 5400||  425|| 4100||  425||  1300||  425|| 4600||  425|| 1000
+|  13|| 600|| 7,86||  600|| 2,09
 |-
-|   5|| 450|| 5400||  450|| 4100||  450||  1300||  450|| 4600||  450|| 1000
+|  14|| 620|| 7,86||  620|| 2,09
 |-
-|   6|| 475|| 5400||  475|| 4100||  475||  1300||  475|| 4600||  475|| 1000
+|  15|| 640|| 7,86||  640|| 2,09
 |-
-|   7|| 500|| 5400||  500|| 4100||  500||  1300||  500|| 4600||  500|| 1000
+|  16|| 660|| 7,86||  660|| 2,09
 |-
-|   8|| 525|| 5400||  525|| 4100||  525||  1300||  525|| 4600||  525|| 1000
+|  17|| 680|| 7,86||  680|| 2,09
 |-
-|   9|| 550|| 5400||  550|| 4100||  550||  1300||  550|| 4600||  550|| 1000
+|  18|| 700|| 7,86||  700|| 2,09
 |-
-|  10|| 575|| 5400||  575|| 4100||  575||  1300||  575|| 4600||  575|| 1000
+|  19|| 720|| 7,86||  720|| 2,09
 |-
-|  11|| 600|| 5400||  600|| 4100||  600||  1300||  600|| 4600||  600|| 1000
+|  20|| 740|| 7,86||  740|| 2,09
 |-
-|  12|| 625|| 5400||  625|| 4100||  625||  1300||  625|| 4600||  625|| 1000
+|  21|| 760|| 7,86||  760|| 2,09
 |-
-|  13|| 650|| 5400||  650|| 4100||  650||  1300||  650|| 4600||  650|| 1000
+|  22|| 780|| 7,86||  780|| 2,09
 |-
-|  14|| 675|| 5400||  675|| 4100||  675||  1300||  675|| 4600||  675|| 1000
+|  23|| 800|| 7,86||  800|| 2,09
 |-
-|  15|| 700|| 5400||  700|| 4100||  700||  1300||  700|| 4600||  700|| 1000
+|  24|| 820|| 7,86||  820|| 2,09
+|-
+|  25|| 840|| 7,86||  840|| 2,09
+|-
+|  26|| 860|| 7,86||  860|| 2,09
+|-
+|  27|| 880|| 7,86||  880|| 2,09
+|}
+Číslo zadání studenta odpovídá číslování uvedenému na stránkách cvičení FYG. Hustotu anomálního tělesa získáte podle příslušnosti do kruhu v rámci cvičení FYG.
+'''Pozn.:'''
+:hustota 2,75 <math>g.cm^{-3}</math> je průměrná hustota zemské kůry ( taktéž hustota většiny minerálů se pohybuje mezi 2,6 - 2,8 <math>g.cm^{-3}</math> )
+:hustota 2,09 <math>g.cm^{-3}</math> je hustota grafitu
+:hustota 7,86 <math>g.cm^{-3}</math> je hustota železa
+==Dokumenty ke stažení==
+Obrázek se schematickými průběhy vybraných derivací gravitačního potenciálu pro některé tvary anomálního tělesa je k dispozici [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/FYG/pgu/pgu.jpg zde].
+'''Doplňující literatura:'''
+:M.Pick, J.Pícha, V.Vyskočil: Úvod ke studiu tíhového pole Země. Academia 1973. Kap.XIV: Matematické základy gravimetrické interpretace, s.357-393.
+<!--
+Pozn.:
+hustota 1,50 g/cm3 ... salmiak
+hustota 2,09 g/cm3 ... grafit
+hustota 5,10 g/cm3 ... pyrit
+hustota 7,86 g/cm3 ... železo
+-->
+<!--
+==Název úlohy==
+Gravitační potenciál a jeho derivace
+==Zadání úlohy==
+. Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče '''R''' a střední hustoty '''<math>\sigma</math>''' konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé derivace na jejím povrchu i v daných hloubkách '''h<sub>i</sub>''' a též nad jejím povrchem ve výškách '''H<sub>i</sub>''' podle numerického zadání. Vypočtené hodnoty využijte k zakreslení průběhu těchto tří funkcí.
+. Obdobně postupujte v případě, že Zemi nahradíte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry '''R<sub>1</sub>''', '''R<sub>2</sub>''', '''R<sub>3</sub>''' a hustotách '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>''' a '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>'''. Body, v nichž budete určovat gravitační potenciál a jeho derivace, volte podle vlastního uvážení vně, ve "vnitřním" prostoru (dutině) i uvnitř vlastních hmotností tohoto sféricky symetrického tělesa. Průběhy zkoumaných funkcí porovnejte s předchozím případem a v závěru úlohy okomentujte.
+==Numerické zadání==
+'''R''' = <math>6,371.10^6 m</math>
+'''G''' = <math>6,672.10^{-11} m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}</math>
+'''<math>\sigma</math>''' = <math>5,520 g.cm^{-3}</math>
+'''h<sub>i</sub>''' = <math> [0, 33, 413, 984, 2000, 2898, 4000, 4980, 5120, 6371] km</math>
+'''H<sub>i</sub>''' = <math> [0, ..., 25000] km</math>, kde v uvedeném rozmezí vhodně zvolte alespoň 20 výpočetních výšek
+'''R<sub>3</sub>''' = R
+'''R<sub>2</sub>''' = R<sub>3</sub> - ''n'' . 2 <math>km</math>
+'''R<sub>1</sub>''' = R<sub>2</sub> - ( ''k'' + 7 ) . 4 <math>km</math>
+Hustoty vrstev '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>''' a '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>''' převezměte z Bullenova hustotního modelu Země (typ A') podle toho, do které Bullenovy zóny modelu A' spadne vnitřní rozhraní vaší vrstvy. Numerické hodnoty Bullenova modelu A' naleznete [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/FYG/uloha2/BullenAdash.jpg zde].
+Velikost  ''n''  bude přidělena jednotlivcům na cvičení.
+Velikost  ''k''  se rovná číslu kruhu studenta pro cvičení z FYG (88, 89 či 90).
+<span style="color:#ff0000"> NOVĚ: </span>
+Hodnoty ''n'' a ''k'' pro každého z vás jsou k dispozici [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/FYG/uloha2/ul2_numzad_2010-11.pdf zde].
+-->
+<!--
+{|class="border"
+|  || '''kruh 61''' || '''kruh 62''' || '''kruh 63'''
 |-
-|  16|| 725|| 5400||  725|| 4100||  725||  1300||  725|| 4600||  725|| 1000
+|  '''R<sub>3</sub>''' || R || R || R
 |-
-|  17|| 750|| 5400||  750|| 4100||  750||  1300||  750|| 4600||  750|| 1000
+|  '''R<sub>2</sub>''' || R<sub>3</sub> - ''n'' . 2 <math>km</math> || R<sub>3</sub> - ''n'' . 1 <math>km</math> || R<sub>3</sub> - ''n'' . 1,5 <math>km</math>
 |-
-|  18|| 775|| 5400||  775|| 4100||  775||  1300||  775|| 4600||  775|| 1000
+|  '''R<sub>1</sub>''' || R<sub>2</sub> - 100 <math>km</math> || R<sub>2</sub> - 100 <math>km</math> || R<sub>2</sub> - 100 <math>km</math>
 |-
-|  19|| 800|| 5400||  800|| 4100||  800||  1300||  800|| 4600||  800|| 1000
+|  '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>2,67.10^3</math> || <math>2,80.10^3</math> || <math>2,75.10^3</math>
 |-
-|  20|| 825|| 5400||  825|| 4100||  825||  1300||  825|| 4600||  825|| 1000
+|  '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>3,35.10^3</math> || <math>3,71.10^3</math> || <math>3,66.10^3</math>
 |}
+Velikost ''n'' bude přidělena jednotlivcům na cvičení.
 -->
+----
+[[152YFYG Fyzikální geodézie | 152FYG Fyzikální geodézie]]
 {{Teoretická geodézie}}